Math Models Bio

http://www.dmb.biophys.msu.ru/models
Каталог динамических моделей в биологии на сайте Биофизики МГУ

http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/

Г.Ю. Ризниченко. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть I.


http://www.biophys.msu.ru/general_courses/mmb/
Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова.
Биологический факультет. Кафедра биофизики
119991, Москва, ГСП-2, Ленинские горы. Телефон (495) 939-1116, факс 939-1115.

Курс "Математическое моделирование в биологии" 
для студентов Биологического факультета МГУ

ЛЕКЦИИ

Профессор кафедры биофизики Галина Юрьевна Ризниченко.
Каф. биофизики, комната119; тел 9390289;  riznich@biophys.msu.ru

Лекция 1. Введение. Классификация моделей. Основные понятия. Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния и его устойчивости

Лекция 2. Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модели с наименьшей критической численностью. Дискретные модели: устойчивый рост, циклы, динамический хаос. Модели с запаздыванием. Вероятностные модели.

Лекция 3. Матричные модели популяций. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек: узел, фокус, седло, центр. Параметрический портрет системы для типов устойчивости системы двух уравнений.

Лекция 4. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Пример: система линейных уравнений для химических реакций. Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.

Лекция 5. Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Мультистационарные системы. Фазовый портрет триггерной системы. Типы переключения триггера. Отбор одного из равноправных видов при наличии неограниченных и ограниченных ресурсов. Триггер Жакоба и Моно.

Лекция 6. Колебания в биологических системах. Понятие автоколебаний и предельного цикла. Бифуркация Хопфа рождения предельного цикла. Модель брюсселятор. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе. Колебания кальция.

Лекция 7. Модели в микробиологии. Проточный культиватор. Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.

Лекция 8. Квазистохастическое поведение динамических систем. Динамический хаос. Пространственно-динамический хаос в моделях кардиологии. Сердечные аритмии.  Модель нелинейной системы трансмембранного переноса ионов. Типы поведения системы: затухающие колебания, триггер, автоколебания. Поведение системы в присутствии переменного электрического поля. Резонансные свойства.

Лекция 9. Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия. Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.

Лекция 10. Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей. Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды.  Реакция Белоусова-Жаботинского. Модели окраски шкур животных.

Лекция 11. Модели молекулярной динамики. Принципы построения и примеры. Модели броуновской динамики. Модели переноса электрона в комплексах молекул-переносчиков. Кинетические и прямые многочастичные модели процессов в фотосинтетической мембране.

СЕМИНАРЫ

Семинар 1Основные понятия. Решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных на примере уравнения экспоненциального роста. Общее решение однородного уравнения. Стационарное состояние. Устойчивость.

Семинар 2Модели роста популяций. Логистический рост (уравнение Ферхюльста). Модель популяции с наименьшей критической численностью.

Семинар 3Дискретные модели роста популяций. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея.

Семинар 4Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение системы линейных дифференциальных уравнений. Характеристическое уравнение. Типы особых точек.

Семинары 5 и 6Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Построение фазовых и кинетических портретов. Памятка для работы в программе TRAX.

Семинар 7Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Аналитическое исследование модели Вольтерра. Пример задания по теме «Исследование модели В. Вольтерра «хищник-жертва».

Семинар 8Триггерные системы. Конкуренция. Пример задания по теме «Исследование модели конкуренции двух видов».

Семинар 9Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора.

ТЕМЫ К ЭКЗАМЕНУ

  • Введение. Классификация моделей.
  • Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния. Устойчивость.
  • Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модель с наименьшей критической численностью. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями (дискретная логистическая модель). Возрастная матрица Лесли.
  • Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма. Пример: система линейных уравнений для химических реакций.
  • Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Линеаризация в окрестности стационарного состояния. Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.
  • Мультистационарные системы. Переключение триггера. Отбор одного из равноправных видов. Триггер Жакоба и Моно. Триггерные системы в ферментативном катализе. Иерархия времен. Принцип «узкого места»
  • Колебания в биологических системах. Понятие предельного цикла. Модельные системы мягкого и жесткого рождения предельного цикла. Примеры. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе. Динамический хаос.
  • Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели: модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.
  • Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия. Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.
  • Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей. Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды.

МОДЕЛИ

  1. Экспоненциальный рост популяции (решение уравнения, график временной зависимости для численности)
  2. Логистический рост (решение уравнения, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
  3. Модель популяции с наименьшей критической численностью (график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
  4. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия)
  5. Система линейных химических реакций (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  6. Модель Лотки (модель химической реакции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  7. Классическая модель Вольтерра «хищник-жертва» (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  8. Модель отбора одного из равноправных (общая модель для двух видов и модель, учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  9. Модель конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  10. Модель «хищник-жертва» (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  11. Модель биохимической регуляции белкового синтеза (генетический триггер Жакоба и Моно) (для m = 0определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  12. Брюсселятор (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
  13. Модель гликолиза (упрощенная схема) (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
!Внимание! На сайте приведена приблизительная программа курса. Используйте этот материал при подготовке к экзаменам только по согласованию с преподавателем!
Подстраницы (1): Ризниченко
Comments